Décrypter la géométrie musicale : résoudre un problème mathématique vieux de 70 ans

L'un des professeurs et ses collaborateurs ont prouvé la conjecture de Polya sur les valeurs propres du disque, un problème difficile en mathématiques.

La forme du tambour peut-elle être déduite des sons qu’il produit ?

C'est le genre de question qu'aime poser Iosif Poltrovic, professeur au Département de mathématiques et de statistique de l'Université de Montréal. Poltrovic utilise la géométrie spectroscopique, une branche des mathématiques, pour comprendre les phénomènes physiques impliquant la propagation des ondes.

Une percée dans l’estimation mathématique

L'été dernier, Poltrović et ses collaborateurs internationaux – Nikolai Filonov, Michael Levitin et David Scherr – ont prouvé un cas particulier de la célèbre conjecture de géométrie spectroscopique formulée en 1954 par l'éminent mathématicien hongro-américain George Polya.

L'estimation concerne l'estimation des fréquences du cylindre rond, ou, en termes mathématiques, des valeurs propres du disque.

Ce diagramme montre les fonctions de Bessel, où les points correspondent aux fréquences des sons produits par un tambour rond. Crédit : Michael Levitin

Polya lui-même a confirmé sa conjecture en 1961 sur les sphères qui composent le plan, comme les triangles et les rectangles. Jusqu’à l’année dernière, l’hypothèse n’était connue que pour ces cas. Le disque, malgré son apparente simplicité, restait insaisissable.

« Imaginez un sol infini recouvert de carreaux de même forme qui s'emboîtent pour remplir l'espace », a déclaré Poltrovic. « Ils peuvent être carrelés avec des carrés ou des triangles, mais pas avec des disques. Un disque n'est en fait pas une bonne forme pour le pavage. « 

L’universalité et l’impact des mathématiques

Dans un article publié en juillet 2023 dans le magazine sportif Inventions mathématiquesLes chercheurs ont montré que la conjecture de Bolya est correcte pour un disque, un cas considéré comme particulièrement difficile.

Bien que leurs résultats aient principalement une valeur théorique, leur méthode de preuve a des applications en mathématiques computationnelles et en calcul numérique. Les auteurs étudient actuellement cette approche.

Joseph Poltrović

« Bien que les mathématiques soient une science fondamentale, elles ressemblent à certains égards aux sports et aux arts », a déclaré Poltrovic.

« Essayer de prouver une conjecture ancienne est un sport. Trouver une solution élégante est un art. Dans de nombreux cas, de belles découvertes mathématiques sont utiles, il suffit de trouver la bonne application. »

Référence : « La conjecture de Polya pour les sphères euclidiennes » par Nikolai Filonov, Michael Levitin, Iosif Poltrovic et David A. Partager, 5 juin 2023, Inventions mathématiques.
est ce que je: 10.1007/s00222-023-01198-1